선형변환과 행렬

모든 내용은 3Blue1Brown의 ‘Essence of Linear Algebra’ 을 번역한 3Blue1Brown 한국어를 정리한 내용입니다.

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변환

변환은 함수의 다른 말로, 입력이 주어지면 출력을 생성하는 수학적인 개념입니다.

선형대수학에서의 변환은 어떤 벡터를 집어넣을 때 다른 벡터를 내놓습니다.

“변환” 이라는 단어는 움직임을 사용해 생각한다는 것을 내포합니다.

변환을 전체적으로 이해할 때는 모든 입력 벡터가 대응하는 출력 벡터로 어떻게 움직이는지를 상상합니다.

각 벡터를 화살표 대신 종점으로 나타내어 생각할 수도 있습니다. .

변환은 가능한 모든 입출력 벡터 간의 관계를 나타내며, 이것은 공간 내의 한 점이 다른 점으로 이동하는 것으로 생각될 수 있습니다.

이러한 움직임은 무한한 격자 상의 모든 점에 대해 적용될 수 있습니다.

선형변환

선형대수학에서의 선형 변환은 특정한 제한을 가지는데, 시각적으로 이를 이해하기 위해 두 가지 중요한 성질을 고려합니다.

1) 모든 직선은 휘지 않고 직선인 상태를 유지

2) 원점 고정 유지

시각적으로는 “격자선이 평행하고 균등한 상태를 유지한다”고 생각할 수 있습니다.

시각적으로 이해하기

선형변환의 정의는 다음과 같습니다. 어떤 변환 $L$ 이 선형일 때, $L$은 다음 두 가지 성질을 만족합니다.

\[L \text{ preserves sums} : (\vec{v} + \vec{w}) = L(\vec{v}) + L(\vec{w})\] \[L \text{ preserves scaling} : L(s\vec{v}) = sL(\vec{v})\]

우선 지금은 정의는 신경쓰지말고 시각적으로 먼저 이해해봅시다.

입력 벡터에 대한 도달 좌표를 알기위해서는 두 기저벡터 î, ĵ 의 도달점이 필요합니다.

예를 들어 좌표가 [-1; 2]인 벡터 $\vec{v}$를 생각해봅시다.

벡터 $\vec{v}$는 -î 와 2ĵ의 합으로 나타낼 수 있습니다.

위 움직임을 보면 v의 도달벡터는 -1 $\cdot$ (î의 도달 벡터) 와 2 $\cdot$ (ĵ의 도달 벡터) 의 합과 같다는것을 알 수 있습니다.

다르게 말해, î와 ĵ가 처음에 선형결합한 방식 그대로 끝에서도 둘의 도달 벡터가 똑같이 선형결합하는 것입니다.

즉 î와 ĵ의 도달 위치만 알면 v의 도달 위치를 유추할 수 있습니다.

이미지 속 변환에서 î 가 [1; -2] 에 도달하는 것이 보이고 ĵ 가 [3; 0] 에 도달하는 것이 보입니다.

\[L(î)= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix} \quad L(ĵ)= \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\]

v의 도달 위치를 유추해보면 v = -î + 2ĵ 가 도달하는 벡터는 v = -[1; -2] + 2[3; 0] 임을 유추할 수 있습니다.

\[\begin{aligned} L(\vec{v}) &= L(-1î + 2ĵ)\\\\ &= -1 \cdot L(î) + 2 \cdot L(ĵ)\\\\ &= -1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 3\\ 0 \\ \end{bmatrix}\\\\ &= \begin{bmatrix} 5\\ 2 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}\]

이제 변환을 보지 않고도 도달 벡터를 알 수 있습니다. 일반적인 벡터 [x; y]를 생각해보면 이 벡터의 도달 벡터는 x $\cdot$ [1; -2] 와 y $\cdot$ [3; 0] 의 합일 것입니다.

\[\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \to x \begin{bmatrix} 1 \\ -2\\ \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1x + 3y \\ -2x + 0y \\ \end{bmatrix}\]

이제 2차 선형변환은 숫자 4개로 완벽히 기술된다는 걸 알았습니다.

행렬

좌표들은 보통 2 $\times$ 2 사이즈의 틀로 묶여 표기하게 되고 그 틀을 2 $\times$ 2 행렬이라고 합니다.

각 행렬의 열은 -î, ĵ가 도달하는 특수 벡터 두 개로 해석할 수 있습니다.

\[‘‘2×2 \quad Matrix”\] \[\begin{bmatrix} 1 && 3 \\ -2 && 0 \\ \end{bmatrix}\]

만약 어떤 선형변환이 2 $\times$ 2 행렬로 묘사되어 있고 특정 벡터가 선형 변환에 의해 어디로 이동하는지 알고 싶다면, 그 벡터의 좌표를 취한 다음 각 기저 벡터에 대응하는 행렬의 열에 곱한 뒤 이를 모두 더해주면 됩니다.

이러한 접근은 기존에 암기했던 공식을 설명해주고 있습니다.

\[\begin{bmatrix} a && b \\ c && d \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \\ \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} b \\ d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \\ \end{bmatrix}\]

💡정리

요약하자면 선형변환은 선형공간이 움직이는 방식 중 하나로 격자선이 평행하고 균등한 상태를 유지하며 원점은 고정되어 있는 것을 만족하는 변환입니다.

선형변환은 숫자 몇 개를 가지고 기술 가능하며 이들은 기저벡터가 도달하는 정보를 포함합니다.

행렬은 이 변환들을 기술하기 위한 도구이며 각 열이 기저벡터의 도달 좌표입니다.

행렬-벡터의 곱셈은 변환에 의한 새로운 벡터를 계산하는 방법입니다.