선형변환의 합성과 행렬의 곱셈

모든 내용은 3Blue1Brown의 ‘Essence of Linear Algebra’ 을 번역한 3Blue1Brown 한국어를 정리한 내용입니다.

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선형변환의 합성

한 변환과 다른 변환을 순서대로 적용했을 때의 효과를 설명해봅시다.

예를 들어, 먼저 시계 반대 방향으로 평면을 90도 회전시킨 다음 그 평면을 전단 ( 한쪽 방향으로 밀어서 평행사변형 모양으로 변형되는 변환, 층밀림 변환) 한다고 해 보겠습니다.

그 결과는 회전변환, 전단변환과 구별되는 또 다른 선형변환입니다.

이 새로운 선형변환을 보통 앞서 적용한 두 다른 변환의 합성이라고 합니다.

예시에서 î이 두 변환에 의해 도달하는 최종 위치는 [1;1] 이며, 그것이 행렬 1열이 됩니다.

마찬가지로 ĵ의 최종 위치는 [-1;0] 이며, 그것이 행렬 2열이 됩니다.

\[{\color{#3791F0}{Rotation} + \color{#ED4780}{Share}}\] \[\begin{bmatrix} 1 && -1 \\ 1 && 0 \\ \end{bmatrix}\]

두 번의 움직임을 하나의 동작으로 축약한 행렬을 고려할 때, 회전 변환 후에 전단 변환을 수행하는 과정을 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

먼저, 회전 변환 행렬을 초기 벡터에 왼쪽에서 곱해 새로운 방향으로 회전된 벡터를 얻습니다. 그 후, 이 결과에 전단 변환 행렬을 다시 왼쪽에서 곱해주어 최종적으로 변형된 벡터를 얻는 것입니다.

\[\color{#ED4780}{ \begin{bmatrix} 1 && 1 \\ 0 && 1 \\ \end{bmatrix}} \color{#3791F0}{ \begin{bmatrix} 0 && -1 \\ 1 && 0 \\ \end{bmatrix}} =\color{#17C46A}{ \begin{bmatrix} 1 && -1 \\ 1 && 0 \\ \end{bmatrix}}\] \[{\color{#ED4780}{Share} \quad \color{#3791F0}{Rotation} \quad\;\; \color{#17C46A}{Composition}}\]

수치적으로 이것은 주어진 벡터를 회전, 다음 전단시켰다는 표기가 됩니다.

다시 표현하면

\[\color{#ED4780}{ \begin{bmatrix} 1 && 1 \\ 0 && 1 \\ \end{bmatrix}} \color{#3791F0}{ \begin{bmatrix} 0 && -1 \\ 1 && 0 \\ \end{bmatrix}} \begin{bmatrix} \color{#7252EF}{x}\\ \color{#7252EF}{y} \\ \end{bmatrix} =\color{#17C46A}{ \begin{bmatrix} 1 && -1 \\ 1 && 0 \\ \end{bmatrix}} \begin{bmatrix} \color{#7252EF}{x}\\ \color{#7252EF}{y} \\ \end{bmatrix}\]

이렇게 구한 왼쪽 식의 결과와 아까 찾은 새 합성 행렬과 벡터의 곱셈은 동일해야 합니다. 이 새로운 행렬은 회전 다음에 전단과 같은 전체 효과를 나타내어야 하기 때문입니다.

이 새로운 행렬을 기존의 두 행렬의 곱으로 표현하는 것이 합리적입니다.

두 행렬의 곱

두 행렬의 곱셈이 기하학적으로 나타내는 것은 한 변환과 다른 변환의 순차적 적용임을 기억하시기 바랍니다.

이 곱셈 연산은 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어야 한다는 점이 약간의 의문을 남길 수 있습니다.

첫 번째 작용하는 변환은 오른쪽에 있고, 그 다음 적용하는 변환이 왼쪽에 있습니다. 이는 함수 표기법에서 비롯된 것입니다. 함수는 변수의 왼쪽에 표기되기 때문에 두 함수를 합성하고자 할 때 항상 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어야 합니다..

\[f(g(x))\\ \xleftarrow{\text{Read right to left}}\] \[\color{#ED4780}{ \begin{bmatrix} 1 && 1 \\ 0 && 1 \\ \end{bmatrix}} \color{#3791F0}{ \begin{bmatrix} 0 && -1 \\ 1 && 0 \\ \end{bmatrix}}\]

행렬 $M_1$과 $M_2$가 있다고 생각해봅시다.

$M_1$ 다음 $M_2$에 의한 전체 효과는 새로운 변환으로 볼 수 있습니다.

그 행렬을 찾아보자.

먼저 î이 어디로 가는지 찾아야 합니다.

$M_1$을 적용했을 때의 î의 새로운 좌표는 $M_1$의 1열에 의해 [1;1]에 도달합니다. 그리고 $M_2$를 적용한 후에는 어떻게 되는지 보기 위해서는 벡터 [1;1]에 행렬 $M_2$를 곱해야 합니다.

\[\color{#ED4780}{ \begin{bmatrix} 0 && 2 \\ 1 && 0 \\ \end{bmatrix}} \color{#3791F0}{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}} =\color{#00000}{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}}\]

이것이 합성 행렬의 1열이 됩니다.

ĵ은 $M_1$의 2열에 의해 먼저 [-2;0]에 도달합니다. 그 후에 이 벡터에 $M_2$를 곱하면 ĵ은 [0;-2]에 도달함을 알 수 있습니다.

\[\color{#ED4780}{ \begin{bmatrix} 0 && 2 \\ 1 && 0 \\ \end{bmatrix}} \color{#3791F0}{ \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \end{bmatrix}} =\color{#00000}{ \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ \end{bmatrix}}\]

결론적으로 $M_1$ 다음 $M_2$에 의한 전체 효과는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[\color{#63758F}{ \begin{bmatrix} 2 && 0 \\ 1 && -2 \\ \end{bmatrix}}\]

위 과정은 우리가 수도없이 외워 왔던 공식으로 표현됩니다.

\[\color{#ED4780}{ \begin{bmatrix} a && b \\ c && d \\ \end{bmatrix}} \color{#3791F0}{ \begin{bmatrix} e && f \\ g && h \\ \end{bmatrix}} =\color{#17C46A}{ \begin{bmatrix} ae+bg && af+bh\\ ce+dg && cf+dh\\ \end{bmatrix}}\]

하지만 이러한 과정을 외우기 전에, 행렬의 곱셈이 실제로는 두 변환의 순차적 적용임을 이해하는 것이 중요합니다.

행렬 곱의 교환 법칙

î을 그대로 두고 ĵ을 오른쪽으로 틀어주는 전단과 90도 회전이 있다고 가정해 봅시다.

전단 다음 회전을 적용하면 î은 [0;1]에, ĵ은 [-1;1]에 도달하는 것을 볼 수 있습니다.

반면에 회전 다음 전단을 적용하면 î은 [1;1]에, ĵ은 [-1;0]에 도달하는 것을 볼 수 있습니다.

이렇게 순서를 변경하면 결과가 달라집니다. 이러한 교환 법칙을 통해 행렬 곱셈이 두 변환의 순서에 따라 다르게 작용함을 이해할 수 있습니다.

전체 효과가 명확히 다르기 때문에, 행렬을 곱하는 순서는 분명히 중요합니다.

\[\color{#3791F0}{M_1}\color{#ED4780}{M_2} ≠ \color{#ED4780}{M_2}\color{#3791F0}{M_1}\]