3차원 선형변환

모든 내용은 3Blue1Brown의 ‘Essence of Linear Algebra’ 을 번역한 3Blue1Brown 한국어를 정리한 내용입니다.

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2차원에서의 핵심 아이디어를 알면 그것을 더 높은 차원에서도 원활히 활용할 수 있습니다.

예를 들어, 어떤 선형변환이 3차원 벡터를 입력으로 가지고 또한 3차원 벡터를 출력으로 가진다고 합시다.

\[\color{#0B8CE6}{ \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -1 \\ \end{bmatrix} } L(\vec{v}) \color{#3AB500}{ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix}}\] \[\color{#0B8CE6}{\text{벡터 입력값}} \quad \color{#3AB500}{\text{벡터 출력값}}\]

2차원에서처럼, 공간상 움직이는 점 하나하나는 해당 지점에 종점을 갖는 벡터를 나타냅니다.

또한 2차원에서처럼, 어떤 변환은 그 기저 벡터의 이동 위치로 완전히 기술됩니다.

3 x 3 행렬

흔히 쓰는 표준 기저 벡터 3개가 있습니다.

• $x$ 방향의 $ \hat{\imath}$
• $y$방향의 $\hat{\jmath}$
• $z$방향의 $\hat{k}$

각 좌표의 도달 벡터를 3x3 행렬로 기록하면

\[\color{#26BC66}{ \hat{\imath} \to \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix} }\quad \color{#E65646}{ \hat{\jmath} \to \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}}\quad \color{#097BE5}{ \hat{k} \to \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}}\]

행렬 속 숫자 9개를 하나의 변환으로 완전히 설명할 수 있습니다.

\[\begin{bmatrix} \color{#26BC66}{1} && \color{#E65646}{1} && \color{#097BE5}{1} \\ \color{#26BC66}{0} && \color{#E65646}{1} && \color{#097BE5}{0}\\ \color{#26BC66}{-1} && \color{#E65646}{0} &&\color{#097BE5}{1}\\ \end{bmatrix}\]

좌표가 [x;y;z]인 벡터의 도달점을 알고 싶으면 2차원에서 했던 것과 거의 똑같은 과정을 거치면 됩니다.

벡터의 각 좌표는 각 기저벡터를 스케일하는 지침으로 생각할 수 있고 그들을 합산하여 원래 벡터를 얻을 수 있죠.

\[\color{#E56900}{\vec{v}} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix} = x\color{#26BC66}{\hat{\imath}} +y\color{#E65646}{\hat{\jmath}} + z\color{#097BE5}{\hat{k}}\]

도달 벡터를 구할려면, 좌표의 스칼라를 대응하는 행렬의 열과 곱한 뒤 결과값 세 개를 더해주면 됩니다.

\[\begin{bmatrix} \color{#26BC66}{0} && \color{#E65646}{1} && \color{#097BE5}{2} \\ \color{#26BC66}{3} && \color{#E65646}{4} && \color{#097BE5}{5} \\ \color{#26BC66}{6} && \color{#E65646}{7} && \color{#097BE5}{8} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{#E56900}{x} \\ \color{#E56900}{y} \\ \color{#E56900}{z} \\ \end{bmatrix} = \color{#E56900}{x} \color{#26BC66}{\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \\ \end{bmatrix}} + \color{#E56900}{y} \color{#E65646}{\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix}} + \color{#E56900}{z} \color{#097BE5}{\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \\ \end{bmatrix}}\]

행렬의 곱셈

수치적 행렬의 곱셈 또한 2차원과 꽤 비슷합니다.

\[\begin{aligned} \color{#ED4780}{ \begin{bmatrix} 0 && -2 && 2 \\ 5 && 1 && 5 \\ 1 && 4 && -1 \\ \end{bmatrix} } \begin{bmatrix} \color{#26BC66}{0} && \color{#E65646}{1} && \color{#097BE5}{2} \\ \color{#26BC66}{3} && \color{#E65646}{4} && \color{#097BE5}{5} \\ \color{#26BC66}{6} && \color{#E65646}{7} && \color{#097BE5}{8} \end{bmatrix} \\ = \\ \begin{bmatrix} \color{#ED4780}{0} \times \color{#26BC66}{0} + \color{#ED4780}{-2} \times \color{#26BC66}{3} + \color{#ED4780}{2} \times \color{#26BC66}{6} && \color{#ED4780}{0} \times \color{#E65646}{1} + \color{#ED4780}{-2} \times \color{#E65646}{4} + \color{#ED4780}{2} \times \color{#E65646}{7} && \color{#ED4780}{0} \times \color{#097BE5}{2} + \color{#ED4780}{-2} \times \color{#097BE5}{5} + \color{#ED4780}{2} \times \color{#097BE5}{8} \\ \color{#ED4780}{5} \times \color{#26BC66}{0} + \color{#ED4780}{1} \times \color{#26BC66}{3} + \color{#ED4780}{5} \times \color{#26BC66}{6} && \color{#ED4780}{5} \times \color{#E65646}{1} + \color{#ED4780}{1} \times \color{#E65646}{4} + \color{#ED4780}{5}\times \color{#E65646}{7} && \color{#ED4780}{5} \times \color{#097BE5}{2} + \color{#ED4780}{1} \times \color{#097BE5}{5} + \color{#ED4780}{5} \times \color{#097BE5}{8} \\ \color{#ED4780}{1} \times \color{#26BC66}{0} + \color{#ED4780}{4} \times \color{#26BC66}{3} + \color{#ED4780}{-1} \times \color{#26BC66}{6} && \color{#ED4780}{1} \times \color{#E65646}{1} + \color{#ED4780}{4} \times \color{#E65646}{4} + \color{#ED4780}{-1} \times \color{#E65646}{7} && \color{#ED4780}{1} \times \color{#097BE5}{2} + \color{#ED4780}{4} \times \color{#097BE5}{5} + \color{#ED4780}{-1} \times \color{#097BE5}{8} \\ \end{bmatrix} \\ = \\ \begin{bmatrix} 6 && 6 && 6 \\ 33 && 44 && 55 \\ 6 && 10 && 14 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}\]