모든 내용은 3Blue1Brown의 ‘Essence of Linear Algebra’ 을 번역한 3Blue1Brown 한국어를 정리한 내용입니다.



벡터를 보는 관점

벡터를 바라보는 관점은 대체로 물리학자, 컴퓨터 과학자, 수학자의 세 가지 관점이 있습니다.

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물리학자의 관점

물리학자의 관점에서 본 벡터는 공간 상의 한 화살표입니다. 한 벡터는 그 길이와 그것이 가리키는 방향으로 정의되며, 두 요소가 같다면 벡터를 아무 데로나 옮긴다 하더라도 여전히 같은 벡터입니다.

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평면에 존재하는 벡터는 2차원 벡터이며, 우리가 사는 더 넓은 공간에 존재하는 벡터는 3차원 벡터입니다.

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컴퓨터 과학자들의 관점

컴퓨터 과학자들의 관점에서 본 벡터는 숫자를 배열한 것입니다.

예를 들어, 집값을 분석할 때, 집의 면적과 가격만 고려한다고 가정합니다. 각 집은 한 쌍의 숫자로 표현될 수 있습니다. 첫 번째 숫자는 집의 면적을, 두 번째 숫자는 가격을 나타냅니다. 전문 용어로, 이 집은 2차원 벡터로 표현된 것입니다.

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수학자의 관점

수학자의 관점은 이 두 관점을 일반화합니다. 기본적으로 어떠한 것이든 벡터가 될 수 있으며, 두 벡터의 덧셈과 벡터의 상수배를 포함한 모든 연산을 다룹니다.

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벡터의 시각화

앞으로 벡터를 생각할 때마다 화살표를 떠올립시다.

특히, $xy$ 평면 같은 좌표계에 있는 꼬리가 원점에 고정되어있는 화살표를 떠올리기를 바랍니다.

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공간 위 화살표라는 이 새로운 개념을 이해했다면, 이를 숫자의 배열로써의 관점으로 바꾸어볼 것입니다.

왜냐하면 선형대수학에서 중요한 모든 것들은 물리학자와 컴퓨터과학자, 두 관점 사이를 오가는 데에서 맴도는 경향이 있기 때문입니다.

벡터의 좌표는 한 쌍의 숫자이며, 이들은 기본적으로 벡터의 머리가 꼬리(원점)로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다.

2차원 벡터


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첫 번째 숫자(-2)는 $x$ 축, 두 번쨰 숫자(3)는 $y$ 축을 따라 얼마나 움직였는지를 뜻합니다.

모든 숫자 쌍은 각각의 벡터와 일대일로 대응하며, 모든 벡터는 각각의 숫자 쌍과 일대일로 대응합니다.

3차원 벡터

3차원 벡터는 $x$축, $y$축 외에도 $z$축이라는 세 번째 축이 추가됩니다. 이 $z$축은 $x$축, $y$축에 모두 수직입니다.

이 경우에 각 벡터는 세 숫자가 연속으로 나열된 3연쌍에 대응합니다. 처음 숫자는 $x$축을 따라 얼마나 움직였는지를, 두번째는 $y$축에 나란히 얼마나 움직였는지를, 세번쨰 숫자는 새로운 $z$축에 나란히 얼마나 움직였는지를 뜻합니다.

모든 3연쌍은 공간상 각각의 벡터와 일대일로 대응하며, 공간상 모든 켁터는 각각의 3연쌍과 일대일로 대응합니다.

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벡터의 연산

벡터의 덧셈

두 벡터 $v$와 $w$가 있습니다. $v$는 우측 상단을 가리키고, $w$는 우측 하단을 가리킵니다.

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먼저 벡터 $w$를 움직여서 꼬리가 벡터 $v$의 머리에 오도록 놓습니다. 이제 벡터의 $v$의 꼬리로부터 벡터 $w$의 머리를 이어 새로운 벡터를 그려주면, 저 새로운 벡터가 그들의 합 $v+w$ 입니다.

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*좌표계 위 벡터의 덧셈을 설명하는 가장 보편적인 방법으로, 삼각형법이라고 부른다.

위 정의가 가능한 이유는 무엇일까요?

위 과정은 수직선 위의 숫자를 더하는 과정의 확장이라고 볼 수도 있습니다.

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수직선을 이용한 덧셈의 예시로 2 + 5 = 7을 보자면 오른쪽으로 2칸을 간 다음 이어서 오른쪽으로 5 칸을 갔을 때, 결과적으로 오른쪽으로 일곱 칸을 간것과 똑같아집니다.

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수평 방향으로 가는 과정과 수직 방향으로 가는 과정으로 나눠 말하면 다음과 같이 읽을 수 있습니다

“먼저 오른쪽으로 1+3칸을 가고 다음 위쪽으로 2+(-1)칸을 가라”

그러므로 새 벡터의 좌표는 [1+3 , 2+(-1)] 이 되는 것입니다.


벡터의 상수배

벡터에 2를 곱한다면, 그 벡터는 처음의 길이의 두 배만큼 늘어나게 됩니다. 음수 -1.8을 곱한다면, 그 벡터는 먼저 뒤집힌 상태에서 처음 길이의 1.8배만큼 늘어나게 됩니다.

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벡터의 방향을 유지한 채로 길이를 늘이거나 줄이는 과정을 Scaling이라고 합니다.

그리고 벡터를 스케일하는 숫자, 2나 -1.8 같은 것들을 ‘스칼라’ 라고 부릅니다.

이때, 벡터를 스케일하는 숫자(예: 2나 -1.8)를 ‘스칼라’라고 부릅니다. 전체 선형대수학에서 숫자들의 주된 역할은 벡터를 스케일하는 것이기 때문에, ‘스칼라’라는 단어는 종종 ‘숫자’와 유사한 의미로 사용됩니다.

수적으로는, 벡터를 2만큼 늘리는 것은 그 숫자 2만큼을 각 좌표에 곱하는 것에 대응합니다. 그래서 숫자 배열로서의 벡터의 관점에서는 주어진 벡터의 상수배, 스칼라배란 각 항에 그 스칼라를 곱하는 것을 의미합니다.

결론

선형대수학은 벡터를 공간상 화살표나 숫자 배열로 단순히 생각하는 것이 아니라, 주어진 대상 사이의 상호작용을 해석하는 능력을 다루는 학문입니다.

특히, 데이터 분석 분야에서는 선형대수학이 많은 숫자 배열을 시각적으로 개념화하는데 유용합니다. 이를 통해 데이터 속의 패턴을 설명하고, 다양한 연산들에 대한 일반적인 관점을 제공합니다.

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